Redmineの活動画面やチケット画面では更新情報がAtomフィード(≒RSSフィード)として出力されます。Slackにフィードを追加することで通知を受け取れます。

設定方法

設定方法について詳しくは以下の記事をご覧ください。

Redmineワンポイントチェック(7): Redmineのチケット更新をSlackに通知する 【プラグイン不要】 (Redmine.JP Blog)