親チケットは、大きなタスクを複数の小さなタスク細分化した子チケットを登録しているチケットのことです。
子チケットは、親チケットのタスクを細分化したチケットのことです。
親子チケットの階層に制限はありません。子チケットの下にさらにタスクを細分化したチケットを登録するなど無制限に階層を設定できます。

チケットの親子関係の設定方法は以下のページをご覧ください。
Redmineのチケットを親子の関係にする

親子チケットのメリット

タスクの細分化で進捗状況が分かりやすくなる

タスクを子チケットに細分化することで、全体の進捗状況が分かりやすくなります。親チケットでは、追加した子チケットのステータス、担当者、進捗を確認できます。

ガントチャートでチケットが階層形式で表示できる

以下のように親子関係のチケットは階層形式で表示されるので、どのチケット同士が親子関係になっているか一目で分かります。

子チケットごとに担当者や期日を設定できる

子チケットごとに担当者や期日の設定が行えるので、チケットの割り当てがしやすくなります。

子チケットから親チケットの開始日・期日・優先度・進捗率の値を自動的に算出できる

デフォルトでは親チケットの値を子チケットの値からを算出するよう設定されています。子チケットを編集すると自動的に算出した値へ変更されるので、親チケットで値を編集する操作は必要ありません。
設定は「管理」→「設定」画面の「チケットトラッキング」タブ→「親チケットの値の算出方法」にて確認できます。

関連情報

• Redmineのチケットを親子の関係にする
• Redmine 3.1新機能紹介: 親チケットの値(優先度・期日など)を子チケットと連動させない設定 (Redmine.JP Blog)
• Redmineの親チケットの優先度/開始日/期日/進捗率の値が変更できない